Saturs

• Pakāpieni
• Padomi

Matemātiķiem un grafikas programmētājiem bieži jāatrod leņķis starp diviem vektoriem. Par laimi formula, kas izmantota šī leņķa aprēķināšanai, prasa neko vairāk kā vienkāršu skalāru produktu. Kaut arī šīs formulas pamatojums ir vieglāk saprotams, izmantojot divdimensiju vektorus, mēs to varam viegli pielāgot vektoriem ar jebkuru komponentu skaitu.

Pakāpieni

1. daļa no 2: aprēķiniet leņķi starp diviem vektoriem

1. 

   Identificējiet abus vektorus. Pierakstiet visu zināmo informāciju par abiem vektoriem. Šīs apmācības vajadzībām mēs pieņemsim, ka jūs zināt vektorus tikai to dimensiju koordinātu izteiksmē (sauktu arī par sastāvdaļas). Ja jūs jau zināt modulis vai standarta no šiem vektoriem (tas ir, to garums), jūs varat izlaist dažas no tālāk norādītajām darbībām.
   • Piemērs: mēs apskatīsim divdimensiju vektorus = (2,2) un = (0,3). Šos divus vektorus var pārrakstīt kā = 2i + 2j e = 0i + 3j = 3j.
   • Lai gan mūsu piemērs izmanto divus divdimensiju vektorus, mēs varam piemērot šīs instrukcijas vektoriem ar jebkuru komponentu skaitu.

2. 

   
   
   Uzrakstiet kosinusa formulu. Lai atrastu leņķa θ vērtību starp jebkuriem diviem vektoriem, vispirms jāaprēķina šī leņķa kosinuss. Varat detalizēti meklēt un uzzināt formulu vai vienkārši uzrakstīt to, kā norādīts zemāk:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| pārstāv modulis (vai vektora garums) ".
   • • pārstāv skalārs produkts (vai iekšējais produkts) no abiem vektoriem.

3. 

   
   
   Aprēķiniet katra vektora moduli. Iedomājieties taisnstūri, ko veido komponents x vektora, tā komponenta y un pats vektors. Šajā trīsstūrī vektors spēlē hipotenūza lomu; tāpēc, lai atrastu tās garumu, mēs izmantosim Pitagora teorēmu. Rezultātā šī formula ir viegli pielietojama vektoriem ar jebkuru komponentu skaitu.
   • || u || = u₁ + u₂. Ja vektoram ir vairāk nekā divi komponenti, vienkārši turpiniet pievienot + u₃ + u₄ +...
   • Tāpēc divdimensiju vektoram mums tas būs jādara || u || = √ (u₁ + u₂).
   • Mūsu piemērā |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Aprēķiniet skalāru reizinājumu starp diviem vektoriem. Jums jau vajadzētu zināt vektoru reizināšanas metodi, ko sauc arī par skalārs produkts. Lai aprēķinātu divu vektoru skalāru reizinājumu, ņemot vērā to komponentus, mēs reizinām komponentus vienā virzienā vienā ar otru un pēc tam pievienojam šo produktu rezultātus.
   • Ja strādājat ar datorgrafikas programmām, pirms turpināt, vispirms apmeklējiet sadaļu Padomi.
   • Matemātiski • = u₁v₁ + u₂v₂, kur u = (u₁, u₂). Ja jūsu vektorā ir vairāk nekā divi komponenti, vienkārši turpiniet pievienot + u₃v₃ + u₄v₄...
   • Mūsu piemērā • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Šī ir skalārā produkta vērtība starp vektoriem un.

5. 

   Aizstāt šos rezultātus ar kosinusa formulu. Atcerieties, ka cosθ = (•) / (|||| || ||). Mēs jau esam aprēķinājuši skalārā reizinājuma un abu vektoru moduli. Tagad aizstāsim šīs vērtības formulā un aprēķināsim leņķa kosinusu.
   • Mūsu piemērā cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Atrodiet leņķi, pamatojoties uz jūsu kosinusu.
   Izmantojiet kalkulatora loka vai cos funkciju, lai noteiktu leņķi θ no jūsu kosinusa vērtības. Dažos gadījumos, iespējams, varēsit atrast leņķa vērtību, pamatojoties uz vienības apli.
   • Mūsu piemērā cosθ = √2 / 2. Lai atrastu leņķi, kalkulatorā ierakstiet "arccos (√2 ​​/ 2)". Vēl viena iespēja ir meklēt apļa leņķi θ, kur cosθ = √2 / 2: tas attiecas uz θ = /₄ vai 45 °.
   • Apkopojot visu informāciju, iegūsim galīgo formulu θ = arkozīns ((•) / (|||| || ||))

2. daļa no 2: leņķa aprēķināšanas formulas noteikšana

1. 

   Izprotiet formulas mērķi. Formula, kuru mēs izmantojām, lai aprēķinātu leņķi starp diviem vektoriem, netika iegūta no iepriekš pastāvošiem noteikumiem; tā vietā tas tika izveidots kā skalārā produkta starp diviem vektoriem un leņķa starp tiem definīcija. Tomēr šis lēmums nav patvaļīgs. Tuvāk apskatot pamata ģeometriju, mēs redzam, kāpēc šī formula rada šādas noderīgas un intuitīvas definīcijas.
   • Šie piemēri izmanto divdimensiju vektorus, jo tie ir visintuitīvākais tips, ar kuru strādāt. Trīs vai vairāk dimensiju vektoriem ir īpašības, kas noteiktas no vispārīgās formulas (arī ļoti līdzīgā veidā).

2. 

   Pārskatiet kosinusa likumu. Jebkurā trīsstūrī ņem vērā leņķi θ, ko veido malas un B un sānu ç pretī šim leņķim. Saskaņā ar kosinusa likumu c = a + b -2abjostasvieta(θ). Šīs formulas demonstrēšanu var viegli iegūt, pārzinot pamata ģeometriju.

3. 

   Savienojiet abus vektorus, veidojot trīsstūri. Uzzīmējiet vektoru pāri un starp tiem ar leņķi θ. Tad starp tām uzzīmējiet trešo vektoru, veidojot trīsstūri. Citiem vārdiem sakot, uzzīmējiet vektoru tā, lai + = vai vienkārši = -.

4. 

   Pielietojiet kosinusa likumu šim trīsstūrī. Aizstāt mūsu malu garumu vektora trīsstūris (tas ir, vektora modulis) kosinusa likuma formulā:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||jostasvieta(θ)

5. 

   Pārrakstiet formulu, izmantojot skalāros produktus. Atcerieties, ka punktveida produkts ir viena vektora palielinājums, kas paredzēts citam. Paša vektora skalārajam produktam nav nepieciešama projekcija, jo nav izmaiņu virzienā. Tas nozīmē, ka • = || a ||. Balstoties uz šo informāciju, pārrakstīsim kosinusa likuma vienādojumu:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||jostasvieta(θ)

6. 

   Vienkāršojiet formulu. Izvērsiet produktus vienādojuma kreisajā pusē un pēc tam vienkāršojiet to, līdz sasniegsit formulu, kuru mēs zinām leņķu aprēķināšanai.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||jostasvieta(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||jostasvieta(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||jostasvieta(θ)
   • • = || a || || b ||jostasvieta(θ)

Padomi

• Lai iegūtu ātru izšķirtspēju, jebkurai divdimensiju vektoru pārim piemēro šādu formulu: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Ja strādājat ar datorgrafikas programmām, visticamāk, jums būs jāzina tikai vektoru virziens, nevis to garums. Veiciet šādas darbības, lai vienkāršotu vienādojumus un paātrinātu programmu:
  • Normalizējiet katru vektoru, tas ir, atrodiet vienības vektoru, kura virziens ir tāds pats kā sākotnējam vektoram. Lai to izdarītu, sadaliet katru vektora komponentu ar vektora moduli.
  • Aprēķiniet normalizēto vektoru skalāru reizinājumu, nevis oriģinālos vektorus.
  • Tā kā normalizēto vektoru modulis (tas ir, garums) ir vienots, mēs tos varam atstāt ārpus formulas. Jūsu galīgais vienādojums leņķu aprēķināšanai būs loka (•).
• Balstoties uz kosinusa likuma formulu, mēs varam ātri noskaidrot, vai attiecīgais leņķis ir akūts vai izteikts. Sāciet ar cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Vienādojuma kreisajai un labajai pusei jābūt ar vienādu zīmi (pozitīva vai negatīva).
  • Tā kā garumi vienmēr ir pozitīvi, cosθ vienmēr būs tāda pati zīme kā skalārajam produktam.
  • Tāpēc, ja skalārā produkta rezultāts ir pozitīvs, cosθ būs pozitīvs. Tas nozīmē, ka leņķis atrodas vienības apļa pirmajā kvadrantā, tas ir, θ <π / 2 vai 90 °. Tāpēc leņķis ir akūts.
  • Ja skalārā reizinājums ir negatīvs, cosθ ir negatīvs. Tas nozīmē, ka leņķis ir vienības apļa otrajā kvadrantā, tas ir, π / 2 <θ ≤ π vai 90 ° <θ ≤ 180 °. Tāpēc leņķis ir izteikts.