Saturs

• Soļi
• Padomi
• Brīdinājumi

Pirms kalkulatora ierašanās gan skolēniem, gan skolotājiem ar roku bija jāaprēķina kvadrātsaknes. Ir izstrādātas vairākas metodes, lai labāk tiktu galā ar šo biedējošo procesu. Dažas no tām sniedz aptuvenās vērtības, bet citas - precīzāku vērtību. Lai uzzinātu, kā aprēķināt kvadrātsakni ar rokām, izmantojot vienkāršas darbības, izlasiet 1. solis sākt.

Soļi

1. metode no 2: pamatfaktorizācijas izmantošana

1. 

   Sadaliet skaitli ar perfektiem kvadrātveida faktoriem. Šī metode izmanto skaitļa faktorus, lai aprēķinātu kvadrātsakni (atkarībā no vērtības tā var būt precīza vai aprēķināta atbilde). Jūs faktori no skaita ir jebkura cita kopa, kas reizina, lai to sasniegtu. Varētu teikt, piemēram, kādi ir faktori un kāpēc. Savukārt perfekti kvadrāti ir veseli skaitļi, kas izriet no reizināšanas starp citiem veseliem skaitļiem. Vērtības un, piemēram, ir ideāli kvadrāti, jo tos var attēlot attiecīgi ar un. Ideāli kvadrātveida faktori, kā jūs varētu iedomāties, ir arī perfekti kvadrāti. Lai sāktu atrast kvadrātsakni, izmantojot galveno faktorizāciju, samaziniet vērtības līdz saviem ideālajiem kvadrāta faktoriem.
   • Vienā piemērā jums būs jāaprēķina rokas kvadrātsakne. Lai sāktu, vienkārši sadaliet vērtību savos perfektajos kvadrātveida faktoros. Tā kā tas ir vairākkārtējs, joprojām ir zināms, ka tas dalās ar - perfektu kvadrātu. Ātra garīgā dalīšana liks jums redzēt, ka tas iekļaujas skaitļa reizēs, kas vienlaikus arī ir ideāls kvadrāts. Tāpēc ideālie kvadrātfaktori būs un kāpēc.
   • Pirmais vingrinājuma posms tiks rakstīts šādi:

2. 

   
   
   Aprēķiniet perfektu kvadrātisko faktoru kvadrātsaknes. Kvadrātsaknes produkta rekvizīts norāda, ka jebkurām vērtībām un datiem. Tāpēc tagad ir iespējams iegūt faktoru kvadrātsaknes un tās reizināt, lai nonāktu pie atbildes.
   • Attiecīgajā piemērā kvadrātsaknes un un tiks izvilktas šādi:

3. 

   
   
   Samaziniet iegūto vērtību līdz visvienkāršākajiem noteikumiem, ja to nav iespējams precīzi aprēķināt. Praksē maz ticams, ka skaitļi būs ideāli un precīzi ar faktoriem, kas arī ir ideāli kvadrāti (piemēram). Šādos gadījumos var nebūt iespējams precīzi sniegt visu atbildi. Tā vietā, nosakot faktorus, kas var būt ideāli kvadrāti, jūs varat aprēķināt atbildi, pamatojoties uz mazāku, vienkāršāku un vieglāk apstrādājamu kvadrātsakni. Vienkārši samaziniet skaitu līdz faktoru kombinācijai, kas ir ideāli kvadrāti ar citiem, kas nav. Pēc tam vienkāršojiet rezultātu.
   • Pieņemsim, ka kvadrātveida sakne tiek izmantota kā piemērs. Šis skaitlis nav divu perfektu kvadrātu reizinājums, tāpēc nav iespējams iegūt veselu skaitļu vērtību kā iepriekšējā gadījumā. Tomēr tas ir reizinājums starp perfektu kvadrātu un citu skaitli - e. Šie dati tiks izmantoti, lai sekmētu atbildes meklēšanu visvienkāršāk, šādi:

4. 

   
   
   Ja nepieciešams, veiciet aprēķinus. Ja kvadrātsakne ir visvienkāršākā izteiksmē, vienkāršāk ir aprēķināt skaitlisko atbildi, nosakot atlikušo kvadrātsakņu vērtību un reizinot atbilstošās vērtības. Viens no veidiem, kā vadīt šos aprēķinus, ir atrast perfektus kvadrātus blakus skaitlim kvadrātsaknē. Jūs zināt, ka šī skaitļa aiz komata būs starp šīm divām vērtībām, un tāpēc būs vieglāk noteikt, kas starp tām pastāv.
   • Atgriežoties pie piemēra un atrodoties e, jūs varat redzēt, ka tas ir starp e - un, iespējams, tuvāk lielākajam skaitlim. Novērtējot, jūs to atradīsit. Vienkārši pārbaudiet darbību ar kalkulatora palīdzību un pamanīsit, ka esat nonācis ļoti tuvu patiesajai atbildei ().
     • Tas darbojas arī lielākā skaitā. Ir iespējams, piemēram, novērtēt, ka tas ir starp un (iespējams, tuvāk lielākajam skaitam). Ja e un ir starp abām vērtībām, visticamāk, ka tā kvadrātsakne ir arī starp un. Ņemot vērā, ka tas ir neliels solis, jūs varat droši apgalvot, ka jūsu kvadrātsakne ir drīz zem vērtības. Veicot aprēķinu kalkulatorā, jūs nonākat pie rezultāta - pieņēmums bija pareizs.

5. 

   Vispirms samaziniet numuru līdz savam kopīgi vairāki minimumi. Nav nepieciešams atrast faktorus, kas ir ideāli kvadrāti, ja jūs varat noteikt skaitļa primāros faktorus (tas ir, arī tos, kas ir pirmie skaitļi). Uzrakstiet attiecīgo vērtību, pamatojoties uz kopējo minimālo reizinājumu. Pēc tam meklējiet primāru skaitļu pārus, kas atbilst viens otram. Atrodot divas iespējas, kas atbilst šīm prasībām, izņemiet tās no kvadrātsaknes un novietojiet a no tiem ārā.
   • Mēģiniet ar šo metodi atrast kvadrātsakni. Tas un tas ir zināms. Tādēļ kvadrātsakni ir iespējams uzrakstīt pēc faktoriem: Vienkārši paņemiet divus klātesošos saknes iekšpusē un novietojiet vienu no tiem ārpusē, lai nonāktu pie vienkāršākajiem noteikumiem:. No šejienes to ir viegli novērtēt.
   • Kā pēdējo piemēru mēģiniet aprēķināt kvadrātsakni no:
     • 
       Kvadrātsaknes iekšpusē ir vairākas vērtības - tā kā tas ir galvenais skaitlis, vienkārši paņemiet vienu no pāriem un novietojiet vienu no vienībām ārpusē.
     • Rezultātā kvadrātsakne visvienkāršākajā izteiksmē būs vai. No šejienes jūs varētu novērtēt vērtības un, ja vēlaties.

2. metode no 2: kvadrātveida sakņu manuāla aprēķināšana

1. 

   Vispirms atdaliet atstarpes no skaitļa pa pāriem. Šajā metodē kvadrātsaknes aprēķināšanai tiek izmantots process, kas līdzīgs garajam sadalījumam precīzi, pa vienai mājai. Kaut arī tas nav izšķiroši, jūs varat uzzināt, ka process ir vieglāks, ja tas tiek organizēts vizuāli un skaits ir sadalīts daļās. Pirmais, kas jādara, ir uzzīmēt vertikālu līniju, kas atdala darba zonu divos reģionos, pēc tam izveidojot mazāku horizontālu līniju netālu no augšas pa labi, lai augšpusē būtu maza sadaļa un apakšā - liela. Tagad atdaliet atstarpes no skaitļa pa pāriem, sākot ar komatu: piemēram, šī noteikuma ievērošana kļūst. Uzrakstiet vērtību kreisās atstarpes augšdaļā.
   • Vienā piemērā mēģiniet aprēķināt kvadrātsakni. Veiciet divas rindas, lai sadalītu darba zonu tāpat kā iepriekšējā gadījumā, un ierakstiet kreisās vietas augšdaļā un neuztraucieties, ja pāra vietā kreisajā pusē ir tikai viens skaitlis. Jums ir jāuzraksta atbilde () augšējā labajā pusē.

2. 

   Uzziniet, kurš ir lielākais skaitlis, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar skaitli (vai skaitļu pāri) pa kreisi. Sāciet ar sava numura kreiso daļu neatkarīgi no tā, vai tā ir pāra vai izolēta vērtība. Nosakiet, kurš ir lielākais ideālais kvadrāts, kas ir mazāks vai vienāds ar šo skaitli, un iegūstiet tā kvadrātsakni: šo vērtību attēlo. Pierakstiet to augšējā labajā telpā un ierakstiet savu kvadrātu apakšējā labajā kvadrantā.
   • Piemērā kreisākā daļa ir skaitlis. Kā zināms, ir iespējams apgalvot, ka, tā kā tā ir lielākā veselā skaitļa vērtība, kuras kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar. Rakstiet augšējā kvadrantā - tas būs pirmais rezultāta kvadrāts. Pēc tam apakšējā labajā kvadrantā ierakstiet (kvadrātu) - šī vērtība būs svarīga nākamajā solī.

3. 

   Atņemt tikko aprēķinātais pāra numurs pa kreisi. Tāpat kā garajā sadalījumā, nākamais solis ir jāatņem atrastais kvadrāts no tikko izpētītās daļas. Ierakstiet šo vērtību zem pirmās daļas un veiciet atbilstošo atņemšanu, uzrakstot atbildi zemāk.
   • Piemērā viens tiks ievietots zem tā, lai veiktu atņemšanu. Atbilde šeit būs vienāda ar.

4. 

   Dodieties uz nākamo pāri. Pārvietojiet nākamo pētījuma numura daļu uz leju un blakus tikko atrastajai atņemtajai vērtībai. Pēc tam pareiziniet augšējā labajā pusē esošo vērtību ar un apakšējā labajā kvadrantā ierakstiet atbildi. Tagad nākamajā solī vienkārši atdaliet vietu reizināšanas problēmai:
   • Piemērā nākamais pieejamais pāris ir. vienkārši paskatieties uz to apakšējā kreisā kvadranta tuvumā. Tad reiziniet vērtību ar un iegūstiet to tā. Rakstiet apakšējā labajā stūrī, kam seko.

5. 

   Aizpildiet tukšās vietas labajā kvadrantā. Katram no tiem tagad būs vienāds vesels skaitlis. Tam jābūt lielākajam, kas ļauj reizināšanas labajā pusē rezultātam būt mazākam vai vienādam ar skaitli, kas tagad atrodas kreisajā pusē.
   • Piemērā aizpildot tukšās vietas ar rezultātu:. Šī vērtība ir lielāka par. Tādā veidā tas ir pārāk liels, bet, iespējams, tas darīs. Uzrakstiet tukšās vietās un turpiniet :. Ir apstiprināts, ka tas atbilst vajadzībai, jo tad augšējā labajā kvadrantā ierakstiet numuru.Šis ir otrais kvadrāts kvadrātsaknē.

6. 

   No kreisajā pusē esošā skaitļa atņemiet aprēķināto vērtību. Turpiniet atņemt tādā pašā stilā kā garais dalījums. Paņemiet reizināšanas problēmas rezultātu labajā kvadrantā un atņemiet to no vērtības, kas tagad atrodas kreisajā pusē, atbildi ievietojot tieši zemāk.
   • Piemērā tas tiks atņemts no rezultāta.

7. 

   Atkārtojiet 4. darbību. Ritiniet uz leju līdz nākamajai skaitļa daļai, kuras kvadrātsakne tiek aprēķināta. Kad esat sasniedzis komatu, atbildē augšējā labajā kvadrantā ierakstiet decimāldaļu. Pēc tam reiziniet vērtību augšējā labajā pusē ar vērtību un rakstiet operāciju baltā krāsā () kā iepriekš.
   • Piemērā, tā kā komats tiek sasniegts tagad, uzrakstiet to tūlīt pēc pašreizējās atbildes augšējā labajā stūrī. Pēc tam pārvietojieties pa nākamo pāri () kreisajā kvadrantā. Reizinot ar vērtību augšējā labajā stūrī (), jūs saņemat - ierakstiet labajā apakšējā kvadrantā.

8. 

   Atkārtojiet 5. un 6. darbību. Atrodiet lielāko decimālvērtību, kas spēj aizpildīt tukšās vietas labajā pusē, un rezultāts ir mazāks vai vienāds ar skaitli, kas pašlaik atrodas kreisajā pusē. Tad vienkārši pārejiet pie problēmas.
   • Piemērā ,, kas ir mazāks vai vienāds ar skaitli pa kreisi (). Novērojot to, kas ir pārāk augsts, jūs nonākat pie secinājuma, ka tā ir atbilde, kuru meklējat. Uzrakstiet to kā nākamo decimāldaļu augšējā labajā kvadrantā un atņemiet rezultātu, reizinot skaitli pa kreisi:.

9. 

   Turpiniet aprēķināt aiz komata. Nometiet nulles pāri pa kreisi un atkārtojiet 4. darbība, 5 un 6. Lai iegūtu vēl lielāku precizitāti, turpiniet atkārtot procesu, līdz atbildē atrodat simtdaļas, tūkstošdaļas un tā tālāk. Vienkārši turpiniet šo ciklu, līdz sasniegsiet rezultātu vēlamajā zīmē aiz komata.

Izpratne par procesu

1. 

   Definējiet skaitli, kura kvadrātsakne tiks aprēķināta kā kvadrāta laukums. Tā kā šai zonai ir formula, kur tā apzīmē vienas malas garumu, mēģinot atrast tās vērtības kvadrātsakni, jūs mēģināt aprēķināt attiecīgā kvadrāta garumu.

2. 

   Atbildē norādiet mainīgos lielumus katram ciparam aiz komata. Iestatiet mainīgo kā pirmo decimāldaļu (tiek aprēķināta kvadrātsakne), otro, trešo un tā tālāk.

3. 

   Piešķiriet alfabētiskos mainīgos katrai sākuma numura daļai. Saistiet mainīgo ar pirmo decimāldaļu pāri (sākotnējā vērtība), otro decimāldaļu pāri utt.

4. 

   Izprotiet šīs metodes saistību ar garo dalījumu. Šis kvadrātsaknes aprēķināšanas veids būtībā ir gara dalīšanas problēma, kas sākuma skaitli dala ar kvadrātsakni, dodot tā kvadrātsakne kā atbilde. Tāpat kā ar garām dalīšanas problēmām, kurās interese tiek novirzīta uz vienu ciparu aiz komata, arī šeit jums jākoncentrējas uz diviem vienlaikus (kas atbilst nākamajai kvadrātsaknes zīmes aiz komata).

5. 

   Atrodiet lielāko skaitli, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar. Pirmais cipars aiz komata norāda lielāko veselu skaitli, kura kvadrāts nepārsniedz (tātad). Piemērā un, tā.
   • Vienā piemērā, ja vēlaties sadalīt, izmantojot garās dalīšanas metodi, pirmais solis būtu līdzīgs: jums vajadzētu meklēt pirmo ciparu () un atrast lielāko veselu skaitli, kas, reizinot ar, radītu kaut ko mazāku par vai vienāds ar. Būtībā tas ir par šāda veida atrašanu. Šajā gadījumā tas būtu vienāds ar.

6. 

   Vizualizējiet laukumu, kura platību vēlaties aprēķināt. Atbilde, kas ir sākuma numura kvadrātsakne, tiks attēlota ar, kas raksturo laukuma kvadrāta garumu (sākuma numuru). Vērtības un norāda decimālzīmes, kas atrodas šeit. Cits veids, kā ievietot šo definīciju, ir apgalvot, ka gadījumā, ja atbilde ir ar divām zīmēm aiz komata, ja atbilde ir ar trīs zīmēm aiz komata, un tā tālāk.
   • Piemērā. Atcerieties, ka tā atspoguļo atbildi vienībās un desmitos. Ņemot un kā piemēru, tiks iegūts skaitlis. Ja tas apzīmē kvadrāta laukumu, tas apzīmē lielākā iekšējā kvadrāta laukumu, mazākā iekšējā kvadrāta laukumu un katra atlikušā taisnstūra laukumu. Veicot šo garo un sarežģīto procesu, jums būs pieejams viss kvadrātveida laukums, tikai pievienojot laukumus, kas aprēķināti no iekšpusē esošajiem kvadrātiem un taisnstūriem.

7. 

   Atņemt no. Nometiet pāris () aiz komata. Izteiksme apzīmē gandrīz visu laukuma laukumu, no kura tika atņemts lielākais iekšējais kvadrāts. Pārējo savukārt var attēlot ar iegūto 4. solis (piemērā iepriekš). Šeit (abu taisnstūru laukums plus mazākā kvadrāta laukums).

8. 

   Meklējiet, arī rakstīts kā. Šajā piemērā jūs jau zināt () un (), un tagad ir nepieciešams aprēķināt vērtību. Iespējams, ka tā nebūs vesela skaitļa vērtība, tāpēc jums tas ir jādara tiešām aprēķiniet vislielāko iespēju, kas atbilst nosacījumam. Visbeidzot, jūs paliksit ar.

9. 

   Atrisiniet operāciju. Lai turpinātu, reiziniet ar, mainiet desmitnieku stāvokli (ekvivalents vērtības reizināšanai ar), ielieciet to vienību pozīcijā un reiziniet rezultātu ar. Citiem vārdiem sakot, vienkārši veiciet darbību. Tas ir tas pats, kas, rakstot (atrodoties) apakšējā labajā kvadrantā, kas atrodas 4. solis. Jau iekšā 5. solis, savukārt, jūs atradīsit lielāko veselā skaitļa vērtību, kas tiks ievietota tukšajā vietā, kas atbilst nosacījumam.

10. 

    Atņemiet laukumu no kopējās platības. Tā rezultātā apgabals, kas līdz šim nav ņemts vērā (un kas tiks izmantots, lai līdzīgi aprēķinātu nākamos kvadrātus).

11. 

    Lai aprēķinātu nākamo ciparu aiz komata, vienkārši atkārtojiet procesu. Ritiniet uz leju līdz nākamajam pārim (), lai nokļūtu pa kreisi, un meklējiet vislielāko vērtību, kas atbilst nosacījumam (ekvivalents divreiz lielākas vērtības ierakstīšanai ar divām zīmēm aiz komata. Blankos meklējiet pēc iespējas lielāku decimāldaļu kas nes mazāku vai vienādu rezultātu kā iepriekš.

Padomi

• Šī metode darbojas ar jebkuru bāzi - ne tikai ar (decimālo) bāzi.
• Šajā piemērā var uzskatīt "atpūtu":
  
• Alternatīva metode, kurā tiek izmantotas nepārtrauktas frakcijas, ir šāda:
  
  Vienā piemērā, lai aprēķinātu kvadrātsakni, skaitlis, kura kvadrāts visciešāk atbilst sākuma skaitlim, ir tāds, ka e. Ievadot formulas vērtības un noapaļojot tāmi uz augšu, tas jau dod rezultātu (minimālās vērtības) vai aptuveni (). Nākamais termins būtu vai aptuveni (). Katrs papildu termins, salīdzinot ar iepriekšējo mēģinājumu, pievieno gandrīz trīs precizitātes zīmes aiz komata.

Brīdinājumi

• Neaizmirstiet no komatiem atdalīt aiz komata ciparus aiz komata. Atdalīšana no tā, kā, piemēram, nesīs bezjēdzīgus rezultātus.