Saturs

• Pakāpieni
• Brīdinājumi

Aprēķinot, kad jums ir vienādojums y uzrakstīts x (piemēram, y = x -3x), lai atrastu atvasinājumu, ir viegli izmantot diferencēšanas pamatmetodes (ko matemātiķi dēvē par “skaidras diferenciācijas” paņēmieniem). Tomēr vienādojumos, kurus ir grūti pārkārtot, novietojot y vienā vienādības zīmes pusē (piemēram, piemēram, x + y - 5x + 8y + 2xy = 19), ir nepieciešama atšķirīga metode.Izmantojot metodi, ko sauc par netiešu diferenciāciju, būs viegli atrast vienādojumu atvasinājumus ar vairākiem mainīgiem, ja vien jūs jau zināt skaidras diferenciācijas pamatjēdzienus!

Pakāpieni

1. un 2. metode: ātri diferencējiet vienkāršus vienādojumus

1. 

   
   
   Atšķirt terminus x kā jūs parasti darītu. Mēģinot atšķirt vienādojumu no vairākiem mainīgajiem, piemēram, x + y - 5x + 8y + 2xy = 19, var būt grūti zināt, kur sākt. Par laimi, pirmais solis netiešā diferenciācijā ir vieglākais. Lai sāktu, vienkārši atdaliet terminus ar x un konstantes vienādojuma abās pusēs pēc regulāras diferenciācijas noteikumiem (skaidri izteikti). Pagaidām ignorējiet šo terminu y.
   • Atšķirsim iepriekšējo vienkāršo vienādojumu. Vienādojumam x + y - 5x + 8y + 2xy = 19 ir divi termini ar x: x. Ja mēs vēlamies atšķirt vienādojumu, tas jāatrisina šādi:

     x + y - 5x + 8y + 2xy = 19

     (Nolaidiet eksponentu "2" x, lai to ievietotu kā koeficientu, noņemiet x -5x un mainiet 19 uz 0)

     2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0

2. 

   
   
   Atšķirt terminus ar y un blakus katram ievietojiet "(dy / dx)". Nākamajā solī vienkārši atdaliet terminus ar y tāpat kā jūs darījāt ar noteikumiem x. Tomēr šoreiz blakus katram pievienojiet "(dy / dx)" tādā pašā veidā, kā jūs pievienotu koeficientu. Piemēram, ja jūs diferencētu y, tas kļūtu 2y (dy / dx). Pagaidām ignorējiet vārdus, kuriem ir x un y.
   • Mūsu pašreizējā piemērā vienādojums izskatīsies šādi: 2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0. Mēs veiksim šo y diferencēšanas soli šādi:

     2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0

     (Nolaidiet eksponentu "2" y, lai to ievietotu kā koeficientu, noņemiet y un ievietojiet "dy / dx" blakus katram).

     2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0

3. 

   
   
   Izmantojiet produkta likumu vai koeficienta noteikumu noteikumiem, kuriem ir gan x, gan y. Atrisināt terminus, kuriem ir x un y, ir viens maz sarežģīti, bet, ja jūs zināt produkta likumu un diferenciācijas koeficienta noteikumu, jums nebūs problēmu. Ja X un y ir reizināti, izmantojiet produkta kārtulu ((f × g) ”= f” × g + g × f ”), aizstājot terminu x ar f un terminu y g. No otras puses, ja termini x un y ir sadalīti savā starpā, izmantojiet koeficienta likumu ((f / g) '= (g × f' - g '× f) / g), aizstājot terminu ar numuru f un vārdu saucējā ar g.
   • Mūsu piemērā 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0, mums ir tikai viens termins ar abiem x un y, kas ir 2xy. Kopš x un y reizinot, mums ir jāizmanto produkta noteikums, lai tos atšķirtu šādi:

     2xy = (2x) (y) - iestatiet 2x = f un y = g (f × g) '= f' × g + g × f '

     (f × g) '= (2x)' × (y) + (2x) × (y) '

     (f × g) ”= (2) × (y) + (2x) × (2y (dy / dx))

     (f × g) ”= 2y + 4xy (dy / dx)

   • Kad atkal pievienosim galveno vienādojumu, mēs iegūsim 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0

4. 

   Izolēt (dy / dx). Jūs esat gandrīz pabeidzis! Tagad viss, kas jums jādara, ir atrisināt vienādojumu (dy / dx). Tas izklausās grūti, bet parasti tā nav; ņem vērā, ka noteikumi un B Pareizināšanas reizināšanas īpašību dēļ, reizinot ar (dy / dx), to var uzrakstīt kā (a + b) (dy / dx) .Šāda taktika ļauj viegli izolēt (dy / dx); vienkārši ielieciet visus pārējos terminus iekavās pretējā pusē un sadaliet tos starp terminiem, kas ir iekavās blakus (dy / dx).
   • Šajā piemērā mēs varam vienkāršot 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0 šādi:

     2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0

     (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y = 0

     (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y - 2x + 5

     (dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

     (dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Metode 2 no 2: uzlaboto paņēmienu izmantošana

1. 

   Pievienojiet vērtības (x, y), lai jebkurā vietā atrastu (dy / dx). Apsveicam! Jūs netieši diferencējāt vienādojumu, kas iesācējiem nav viegls uzdevums! Izmantojot šo vienādojumu, lai atrastu slīpumu (dy / dx) jebkurā punktā (x, y), ir tikpat vienkārši kā savienot divas vērtības. x un y līdz punktam vienādojuma labajā pusē un tad atrisini (dy / dx).
   • Piemēram, pieņemsim, ka mēs vēlamies atrast iepriekšējā vienādojuma punkta (3, -4) slīpumu. Lai to izdarītu, mums 3 ir jāaizstāj ar x un -4 par y, izšķirot šādi:

     (dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

     (dy / dx) = (-2 (-4) - 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)

     (dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))

     (dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))

     (dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))

     (dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48, vai 0.6875.

2. 

   Izmantojiet ķēdes likumu lomai citās lomās. Runājot par aprēķināšanas problēmām (ieskaitot netiešās diferenciācijas problēmas), ir ļoti svarīgi zināt ķēdes noteikumu. Šis noteikums nosaka, ka funkcijai F (x), ko var uzrakstīt kā (f g) (x), F (x) atvasinājums ir vienāds ar f '(g (x)) g' (x). Netiešas diferenciācijas problēmu gadījumā, kurām ir lielākas grūtības, tas nozīmē, ka ir iespējams diferencēt vairākas atsevišķas vienādojuma daļas un pēc tam rezultātu saskaitīt.
   • Kā vienkāršu piemēru pieņemsim, ka mums jāatrod atvasinājums sem (3x + x). Ja mēs uzskatām bez (3x + x) kā "f (x)" un 3x + x kā "g (x)", tad diferenciāciju var atrast šādi:

     f '(g (x)) g' (x)

     (sin (3x + x)) '× (3x + x)'

     cos (3x + x) × (6x + 1)

     (6x + 1) cos (3x + x)

3. 

   Vienādojumos ar mainīgajiem x, y un z atrodiet (dz / dx) un (dz / dy). Lai gan tas nav izplatīts pamata aprēķinos, dažās uzlabotās lietojumprogrammās var būt nepieciešama netieša diferenciācija vairāk nekā no diviem mainīgajiem. Katram papildu mainīgajam būs jāatrod papildu atvasinājums attiecībā pret x. Piemēram, ja strādājat ar mainīgajiem x, y un z, jums būs jāatrod (dz / dy) un (dz / dx). Vienādojumu varam divreiz diferencēt attiecībā pret x. Pirmo reizi mēs ievietosim (dz / dx) katru reizi, kad mēs atdalīsim terminu ar z, un otro reizi mēs ievietosim (dz / dy) katru reizi, kad atšķirsim z. Pēc tam būs tikai jāatrisina (dz / dx) un (dz / dy).
   • Piemēram, pieņemsim, ka mēs vēlamies atšķirt xz - 5xyz = x + y.
   • Pirmkārt, mēs atšķiramies attiecībā pret x un vietu (dz / dx). Neaizmirstiet attiecīgos gadījumos piemērot produkta noteikumus!

     xz - 5xyz = x + y

     3xz + 2xz (dz / dx) - 5yz - 5xy (dz / dx) = 2x

     3xz + (2xz - 5xy) (dz / dx) - 5yz = 2x

     (2xz - 5xy) (dz / dx) = 2x - 3xz + 5yz

     (dz / dx) = (2x - 3xz + 5yz) / (2xz - 5xy)

   • Tagad mēs darīsim to pašu attiecībā uz (dz / dy)

     xz - 5xyz = x + y

     2xz (dz / dy) - 25xyz - 5xy (dz / dy) = 3y

     (2xz - 5xy) (dz / dy) = 3y + 25xyz

     (dz / dy) = (3y + 25xyz) / (2xz - 5xy)

Brīdinājumi

• Vienmēr meklējiet vienādojuma daļas, kurās ir jāpiemēro koeficienta vai produkta likme, jo to ir ļoti viegli aizmirst.