Saturs

• Pakāpieni
• Padomi

Tiem, kam ir grūtības ar matemātiku, kvadrātveida saknes simbola redzēšana var izraisīt drebuļus. Tomēr problēmas, kas saistītas ar šo operatoru, nav tik sarežģītas, kā šķiet. Dažreiz vienkāršas kvadrātsaknes problēmas var būt tikpat vienkāršas kā vienkārša reizināšana vai dalīšana. No otras puses, sarežģītākas problēmas var būt vairāk darba. Tomēr ar pareizo pieeju viņi visi izskatīsies viegli. Sāciet praktizēt kvadrātsaknes problēmas tagad un apgūstiet šo jauno matemātikas prasmi radikāls!

Pakāpieni

1. daļa no 3: izprast jēdzienu kvadrāts un kvadrātsaknes

1. 

   Pirms saprast kvadrātsaknes, vispirms saprotiet, kas ir skaitļa kvadrāts. To ir viegli saprast. Lai skaitli apzīmētu ar kvadrātu, vienkārši reiziniet to ar sevi. Piemēram, 3 kvadrāti ir tādi paši kā 3 × 3 = 9, un 9 kvadrāti ir tādi paši kā 9 × 9 = 81. Kvadrātus apzīmē ar mazu “2” paceļamā skaitļa labajā augšējā pusē, piemēram: 3, 9, 100 un tā tālāk.
   • Lai praktizētu šo jēdzienu, mēģiniet apzīmēt vēl dažus ciparus. Atcerieties, ka numura sakārtošana to vienkārši reizina. To var izdarīt pat ar negatīviem skaitļiem, taču atcerieties, ka šajā gadījumā atbilde vienmēr būs pozitīva. Piemēram, -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Lai atrastu kvadrātsakni, atrodiet potenciācijas "apgriezto". Saknes simbols (√, saukts arī par “radikālu”) būtībā nozīmē simbola “pretējo”. Kad redzat radikāli, pajautājiet sev: “Kādu skaitli es varu reizināt pats par sevi, lai rezultāts būtu skaitlis radikāļa iekšienē?” Piemēram, kad redzat √ (9), mēģiniet atrast skaitli, kas ir kvadrātā, vienāds ar deviņiem.Šajā gadījumā atbilde būs trīsjo 3 = 9.
   • Vēl viens piemērs: atradīsim kvadrātsakni no 25 (√ (25)). Tas nozīmē, ka mums jāatrod skaitlis, kas kvadrātā ir vienāds ar 25. Tā kā 5 = 5 × 5 = 25, mēs varam teikt, ka √ (25) = 5.
   • Varat arī domāt par šo darbību kā veidu, kā "atsaukt" kvadrāta pacēlumu. Piemēram, ja mums jāatrod √ (64), kvadrātsakne no 64, mums vajadzētu domāt, ka skaitlis 64 ir 8. Tā kā kvadrātsakne pamatā “atceļ” kvadrātā paaugstinājumu, mēs varam teikt, ka √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Izprotiet atšķirību starp perfektajiem kvadrātveida skaitļiem un nepilnīgajiem kvadrātveida skaitļiem. Līdz šim atbildes uz mūsu kvadrātsaknes problēmām ir bijušas veselas skaitļi. Tas ne vienmēr notiks. Faktiski starojuma operācijas rezultāts dažkārt var izraisīt garas, sarežģītas decimāldaļas. Ja skaitļa sakne ir vesels skaitlis, tas ir, ja tas nav frakcija vai decimāls, tas tiks izsaukts ideāls kvadrāts. Visi iepriekš parādītie piemēri (9, 25 un 64) ir perfekti kvadrāti, jo to saknes ir veseli skaitļi (attiecīgi 3, 5 un 8).
   • No otras puses, tiek izsaukti skaitļi, kuru saknes nav veselas nepilnīgi laukumi. Aprēķinot viena no šiem skaitļiem sakni, mēs iegūsim rezultātu, kas parasti būs frakcija vai decimāldaļa. Dažreiz iesaistītās decimāldaļas var būt diezgan sarežģītas, kā piemērā: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Iegaumējiet vismaz pirmos 12 perfektos kvadrātus. Kā mēs esam parādījuši, skaitļa kvadrātsaknes aprēķināšana var būt ļoti vienkārša! Tāpēc ir svarīgi veltīt laiku tam, lai iegaumētu pirmo duci perfekto kvadrātu kvadrātsaknes. Testos tie parasti parādās daudz, tāpēc to iegaumēšana var ietaupīt daudz laika. Pirmie 12 perfekti kvadrāti ir:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Ja iespējams, saknes vienkāršo, noņemot perfektus kvadrātus. Nepilnīgu kvadrātu kvadrātsaknes atrašana var būt diezgan sarežģīta, it īpaši, ja nav pieejams kalkulators (zemāk esošajās sadaļās jūs iemācīsities trikus procesa vienkāršošanai). Tomēr dažreiz ir iespējams vienkāršot skaitļus saknes iekšpusē, lai atvieglotu aprēķinus. Vienkārši sadaliet skaitli saknes iekšienē faktoros, pēc tam aprēķiniet to faktoru saknes, kas ir perfekti kvadrāti, un uzrakstiet atbildi ārpus radikālā. Tas ir vieglāk, nekā izskatās. Skatiet zemāk, lai labāk saprastu!
   • Teiksim, ka jums jāatrod sakne 900. Sākotnēji tas šķiet diezgan grūts uzdevums! Viss ir daudz vienkāršāk, ja 900 sadalām faktoros. Skaitļa “x” koeficienti ir skaitļu kopa, kas, reizinot, iegūst “x”. Piemēram, mēs varam iegūt 6, reizinot 1 × 6 un 2 × 3, tāpēc koeficienti 6 ir 1, 2, 3 un 6.
   • Tā vietā, lai strādātu ar 900, kas var būt nedaudz dīvaini, tā vietā rakstīsim to kā 9 × 100. Tā kā 9, kas ir ideāls kvadrāts, ir atdalīts no 100, mēs varam aprēķināt tā kvadrātsakni. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Tas ir, √ (900) = 3√(100).
   • Mēs joprojām varam vienkāršot vēl divas reizes, sadalot 100 koeficientos 25 un 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Tātad, mēs varam teikt, ka √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Izmantojiet iedomātos skaitļus, lai aprēķinātu negatīvo skaitļu sakni. Pajautājiet sev, kurš skaitlis, reizināts ar sevi, dod rezultātu -16? Tas nav 4 vai -4, jo šo divu skaitļu kvadrāts ir 16. Vai mums vajadzētu atteikties? Faktiski nevar rakstīt kvadrātsakni no -16 vai jebkuru citu negatīvu skaitli, izmantojot tikai reālos skaitļus. Šādos gadījumos negatīva skaitļa kvadrātsaknes aizstāšanai mums jāizmanto iedomāti skaitļi (parasti burtu vai simbolu veidā). Piemēram, mainīgo lielumu "i" apzīmē ar kvadrātsakni -1. Parasti negatīvā skaitļa sakne vienmēr būs (vai vismaz iekļaus) iedomāts skaitlis.
   • Atcerieties, kaut arī iedomātos skaitļus nevar apzīmēt ar reāliem skaitļiem, tomēr tos dažos veidos var uzskatīt par tādiem. Piemēram, negatīva skaitļa “-x” sakne, ja tā ir kvadrātā, tāpat kā jebkura cita sakne rada “-x”. Tas ir, i = -1

2. daļa no 3: Garajai dalīšanai līdzīgo metožu izmantošana

1. 

   Izturieties pret kvadrātsaknes problēmu tā, it kā tā būtu gara dalīšana. Neskatoties uz to, ka tas ir nedaudz darbietilpīgs, jūs varat atrast sarežģītu nepilnīgu kvadrātu skaitļu kvadrātsakni, neizmantojot kalkulatoru. Metode (vai algoritms) ir līdzīga (bet ne tāda pati) kā garā dalījuma metode. Garais dalījums ir tā tradicionālā metode, ko izmanto, lai dalījumus aprēķinātu ar roku.
   • Sāciet ar sākotnējo problēmas noteikšanu, kas būs līdzīga garā dalījuma pozīcijai. Piemēram, pieņemsim, ka jāatrod 6.45 sakne, kas noteikti nav ideāls kvadrāts. Pirmkārt, mēs uzrakstām kvadrātsaknes simbolu (√) un tad mēs ieliekam tajā savu numuru. Pēc tam no simbola √ jāizveido līnija, līdz tā aptver visu skaitli, atstājot to lodziņā, kas līdzīgs tam, kur atrodas garā dalīšanas dalītājs. Atšķirība ir tā, ka šeit atbilde būs virs šī lodziņa, nevis zemāk, kā tas ir tradicionālajā sadalījumā. Kad būsim pabeiguši, mums būs iegarena zīme "√", kas aptver visu skaitli 6.45.
   • Uz šī lodziņa rakstīsim numurus, tāpēc atstājiet vietu.

2. 

   Grupējiet ciparus pa pāriem. Lai sāktu risināt problēmu, sagrupējiet cipara iekšpusē esošos skaitļus cipariem pa pāriem, sākot ar decimālo zīmi. Starp pāriem varat veikt nelielus marķējumus (piemēram, punktus, joslas, komatus utt.), Lai tos atdalītu.
   • Šajā piemērā mums 6.45 ir jāsadala trīs pāros, piemēram: 6-,45-00. Redziet, ka kreisajā pusē ir par vienu ciparu mazāk, ar to nav problēmu.

3. 

   Atrodiet lielāko skaitli, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar pirmās “grupas” vērtību. Sāciet ar pirmo numuru pāri kreisajā pusē. Izvēlieties lielāko skaitli, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar “grupu”. Piemēram, ja grupā bija 37, izvēlieties 6, jo 6 = 36 <37, bet 7 = 49> 37. Uzrakstiet šo numuru virs pirmās grupas. Šis ir pirmais atbildes cipars.
   • Mūsu piemērā pirmā grupa skaitļos 6-, 45-00 ir 6. Pirmais lielākais skaitlis, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar 6, ir 2, jo 2 = 4. Ierakstiet "2" virs 6, kas atrodas radikāļa iekšpusē.

4. 

   Apskatiet atbildes pirmo ciparu (skaitli, kuru tikko atradām) un reiziniet to ar diviem. Tagad uzrakstiet rezultātu zem pirmās grupas un veiciet atņemšanu, lai atrastu atšķirību. Pēc tam ritiniet uz leju nākamo skaitļu pāri, pievienojot tos atšķirībai, ko tikko atradām. Visbeidzot kreisajā pusē uzrakstiet pēdējās atbildes ciparu divkāršu atbildes pirmo ciparu un atstājiet atstarpi blakus.
   • Mūsu piemērā pirmais solis būtu atrast dubultā no 2, kas ir pirmais atbildes cipars. 2 × 2 = 4. Tad mums ir jāatņem 4 no 6 (mūsu pirmā “grupa”), iegūstot 2 kā atbildi. Tagad mums jāiet uz nākamo grupu (45), lai iegūtu 245. Visbeidzot, kreisajā pusē atkal rakstām 4, labajā pusē atstājot nelielu tukšu vietu, piemēram: 4_.

5. 

   Aizpildiet tukšu. Tagad mums ir jāievieto cipars tukšās vietas vietā blakus skaitlim, kuru rakstām kreisajā pusē. Izvēlieties ciparu, kam, reizinot ar skaitli kreisajā pusē un tukšo vietu aizstājot ar sevi, ir maksimālā vērtība, bet mazāka nekā ciparam labajā pusē. Tas var šķist nedaudz sarežģīti, tāpēc redzēsim dažus piemērus, lai saprastu. Ja skaitlis, kas nokritās, tas ir, labajā pusē, ir 1700, bet labajā pusē - 40_, tukšu lapu aizpildīsim ar skaitli 4, jo 404 × 4 = 1616 <1700 un 405 × 5 = 2025 Šajā solī atrastais numurs būs atbildes otrais cipars, tāpēc jūs varat to pievienot virs cilmes simbola.
   • Šajā piemērā mums jāatrod tukšās vietas aizpildīšanas numurs 4_ × _ formātā, kas padara atbildi pēc iespējas lielāku, bet mazāku vai vienādu ar 245. Mūsu gadījumā atbilde ir 5jo 45 × 5 = 225 un 46 × 6 = 276.

6. 

   Lai turpinātu atbildi, turpiniet izmantot ciparus, kas aizpilda aizpildāmās vietas. Turpiniet šo modificēto garo dalīšanas metodi, līdz sākat iegūt nulles, atņemot skaitli, kas nolaižas no radikāļa, vai līdz sasniedzat vēlamo precizitātes līmeni. Kad darbs būs pabeigts, atbildes cipari veidos skaitļi, ko izmanto, lai katrā solī aizpildītu aizpildīšanas veidus (un, protams, pirmais cipars, kuru mēs izmantojam).
   • Turpinot mūsu piemēru, mēs atņemsim 225 no 245, lai iegūtu 20. Pēc tam mēs nokāpsim ciparu pāri 00, lai iegūtu 2000. Divkāršojot skaitļus virs radikāla, mums ir 25 × 2 = 50. Iestatot tukšās vietas numuru uz 50_ × _ = / <2000, mēs iegūstam 3. Šobrīd mums ir "253" par radikāļiem. Atkārtojot procesu vēlreiz, mēs iegūstam 9 kā nākamo ciparu.

7. 

   Novietojiet komatu atbildē pareizajā vietā. Lai pabeigtu atbildi, mums vēl aiz komata ir jāievieto pareizajā vietā. Šī daļa ir vienkārša: vienkārši ievietojiet atbildes komatu tādā pašā stāvoklī kā komatu skaitļa iekšpusē. Piemēram, ja skaitlis radikāļa iekšpusē ir 49,8, atbildē vienkārši ievietojiet komatu vietā, kas atbilst zemāk redzamajai, tas ir, starp diviem skaitļiem virs 9 un 8.
   • Mūsu piemērā radikāļa numurs ir 6.45. Lai iegūtu atbildi, vienkārši ievietojiet komatu starp cipariem, kas pārsniedz 6 un 4, kas šajā gadījumā ir attiecīgi 2 un 5, lai iegūtu atbildi: 2,539.

3. daļa no 3: Nepilnīgu kvadrātu ātra novērtēšana

1. 

   Atrodiet atbildi, izmantojot aprēķinu. Kad esat zinājis dažu perfektu kvadrātu saknes, nepilnīgu kvadrātu saknes atrast būs daudz vieglāk. Iepriekšējā posmā mēs iesakām iegaumēt vismaz pirmos divpadsmit perfektos kvadrātus un to saknes. Labā ziņa ir tā, ka mēs varam izmantot aprēķinu, lai iegūtu aptuvenu nepilnīga kvadrāta saknes tuvinājumu, kas atrodas starp diviem mums zināmiem perfektiem kvadrātiem. Šim nolūkam mums jāatrod pirmais ideālais kvadrāts, kas ir lielāks par vēlamo skaitli, un pēdējais, mazāks, tā, lai attiecīgais skaitlis būtu starp diviem. Tad mums jācenšas noskaidrot, kuram no šiem diviem perfektajiem kvadrātiem vēlamā skaitļa sakne ir vistuvākā.
   • Piemēram, pieņemsim, ka mums jāatrod kvadrātsakne no 40. Tā kā mēs iegaumējam savus perfektos kvadrātus, mēs varam teikt, ka 40 ir no 6 līdz 7, tas ir, no 36 līdz 49. Tā kā 40 ir lielāks par 6, tā kvadrātsakne būs lielāks par 6. Tāpat, tā kā tas ir mazāks par 7, tā sakne būs mazāka par 7. 40 ir nedaudz tuvāk 36 nekā 49, tāpēc mūsu atbilde, iespējams, būs tuvāk 6. Nākamajās darbībās , mēs paaugstināsim aprēķina precizitāti.

2. 

   Palieliniet precizitāti līdz vienai zīmei aiz komata. Kad esat atradis divus secīgus perfektus kvadrātus, kas veido diapazonu, kurā ir jūsu skaitlis, vienkārši mēģiniet palielināt aprēķina precizitāti līdz punktam, kas, jūsuprāt, ir apmierinošs. Jo vairāk mēģinājumu uzlabot novērtējumu, jo lielāka precizitāte. Sākumā novērtējiet pirmās komata vērtību. Šim aprēķinam nav jābūt pareizam, bet, izmantojot loģiku, lai izvēlētos vērtību, kas, visdrīzāk, ir vistuvākā atbildei, tas atvieglos procesu.
   • Mūsu piemērā varētu būt pieņemams aprēķins kvadrātsaknei no 40 6,4, jo mēs jau zinām, ka atbilde, iespējams, ir nedaudz tuvāk 6 nekā 7.

3. 

   Reiziniet aprēķinu pats par sevi. Ja vien jums nav ļoti paveicies, rezultāts nebūs starta numurs (mūsu piemērā - 40). Jums būs jāpielāgo tāme, lai tuvotos pareizajai atbildei.Ja rezultāts pārsniedz sākuma numuru (tas ir, virs 40), izmēģiniet zemāku aprēķinu. Tāpat, ja rezultāts ir mazāks par vēlamo skaitli, palieliniet tāmi.
   • Reiziniet 6.4 pats par sevi, lai iegūtu 6,4 × 6,4 = 40,96, kas ir nedaudz lielāks par mūsu sākotnējo numuru.
   • Tā kā mūsu aprēķins nedaudz pārsniedza pareizo vērtību, tāpēc to samazināsim par vienu desmito daļu, lai iegūtu 6,3 × 6,3 = 39,69. Tagad rezultāts bija nedaudz mazāks par mūsu sākotnējo numuru. Tas nozīmē, ka 40 sakne ir kaut kāds skaitlis starp 6,3 un 6,4. Turklāt, tā kā 39,69 ir tuvāk 40 nekā 40,96, mēs zinām, ka sakne būs tuvāk 6,3, nevis 6,4.

4. 

   Ja nepieciešams, turpiniet uzlabot tāmi. Šajā brīdī, ja esat apmierināts ar atbildi, izmantojiet vienu no pirmajiem tuvinājumiem kā aprēķinu. Tomēr, ja jums nepieciešama precīzāka atbilde, vienkārši mēģiniet novērtēt otrā zīme aiz komata, izvēloties vērtību starp diviem iepriekšējiem (tas ir, no 6,3 līdz 6,4). Izmantojot šo metodi, mēs varam aprēķināt trīs zīmes aiz komata, četras, piecas un tā tālāk, tikai atkarībā no tā, cik precīza ir atbilde.
   • Šajā piemērā mēs varam izvēlēties 6.33, lai aprēķinātu mūsu zīmi līdz divām zīmēm aiz komata. Reiziniet 6.33 pats par sevi, lai iegūtu 6.33 × 6.33 = 40.0689. Tā kā šis rezultāts bija nedaudz virs mūsu sākotnējā skaitļa, mēs varam izvēlēties nedaudz zemāku vērtību, piemēram, 6.32. Šajā gadījumā 6,32 × 6,32 = 39,9424, rezultāts ir nedaudz zem sākuma skaitļa. Tāpēc mēs varam secināt, ka precīza 40 sakne ir starp 6.32 un 6.33. Ja nepieciešams, mēs varētu turpināt šo metodi, lai iegūtu arvien precīzākus tuvinājumus vēlamā skaitļa saknei.

Padomi

• Ja jums ir nepieciešams ātrs labojums, izmantojiet kalkulatoru. Lielākā daļa mūsdienu kalkulatoru var uzreiz aprēķināt kvadrātveida saknes. Parasti vienkārši ierakstiet jebkuru numuru un nospiediet pogu ar kvadrātsaknes simbolu. Piemēram, lai atrastu sakni 841, vienkārši nospiediet 8, 4, 1 un pēc tam (√), lai iegūtu atbildi: 39.